Page 24 - 4968

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7

Тема: метод Рунге-Кутта

Технічне забезпечення: ПЕОМ середовище програмування

Короткі теоретичні відомості

Розглядається диференційне рівняння першого порядку
виду:

  ut, , t 0,   0 uu  , (7.1)
du
f
0
dt
або система диференційних рівнянь першого порядку:
 0, i 
du    0
i , t m ,   0 uu . (7.2)
...,
, 2 , 1
f
u ...,,
u
 ut,
,
i i
i 1 2 m
dt
  t ) позначимо точний
 t , …, u
 t
Через u (або u , u
 t
m
1 2
розв’язок рівняння або системи. Введемо по змінній t рівномірну
сітку з кроком  0, тобто розглянемо множину точок:
    nt n  , n , 2 , 1 , 0  ... .
Через y    t y позначимо наближений розв’язок, який є
n n
сітковою точкою, визначеною у вузлах  
, якщо він
Чисельний метод збігається на відрізку  T;0
збігається в будь-якій точці цього відрізку, тобто, для будь-якої
t   T;0 :
0 при 
t
y u   t 0, t  .
n n n
 0, що
Метод має p -ий порядок точності, якщо існує таке p
y    Ot    p при  0.
n u n
Може бути багато методів Рунге-Кута (прочитати про їх
виведення та оцінку точності розв’язків можна, наприклад у [4]):
а) метод другого порядку точності:

k   yt f ,
1 n n ,
k  t f  5 . 0  ,y  5 . 0  k  ,
2 n n 1
y  y n k   2 ; (7.1)
n
1
б) метод третього порядку точності:
k   yt f , ,
1 n n
k  t f  5 . 0  ,y  5 . 0  k  ,
2 n n 1
k  t f   ,y   k 2 k ,
3 n n 1 2

24