Page 27 - 4968

. Знайти розв’язок на
методом Рунге-Кутта на відрізку [ ] 4 . 0 ; 0
рівномірній сітці з кроком 0,1 в чотирьох вузлових точках.
Скористаємось алгоритмом Рунге-Кутта в вигляді:

x  x  , h y  y  y  i  , 1 ,m ,
i i 1 i i 1 i 1
 1  1i    1i    1i   1i 
y k 2k 2k  k ,
 i 1 1 2 3 4
6
 1i
k hf x , y ,
1 1  i 1  i
   
 1i 1 1 i 1 
k  hf  x  h , y  k
 2 2 
2 i 1 i 1 1
   
 1i 1 1 i 1
k  hf  x  h , y  k ,
 2 2 
3 i 1 i 1 2
 1i  1i
k  hf x h , y k .
4 1  i 1  i 3
x  y , одержуємо:
Оскільки f ( x, y )
 1i
k  hf x  y ,
1 1  i 1  i
   
 1i 1 1 i 1
k  hf x  h  y  k ,
 2 2 
2 i 1 i 1 1
   
 1i 1 1 i 1
k  hf  x  h  , y  k ,
 2 2 
3 i 1 i 1 2
 1i  1i
k  hf x  h  y  k ,
4 1  i 1  i 3
  1  1i    1i    1i   1i   .
x  x , h y  y k 2k 2k  k  i  4 , 3 , 2 , 1
i  i 1 i  i 1 1 2 3 4
6
  1послідовно знаходимо
Для x , 0 y
0 0
 0  0  0 5 . 0  1  0
 0  0
при i 1: k 1 . 0 1 1 . , k 1 . 0 . 0 05 . 11,
1 2
 0  0 05 1  0  0  0 1 . 0  1  0
k 1 . 0 . 0 . 0 055 . 1105, k 1 . 0 . 0 1105 . 12105,
3 4
 0   
x 1 . 0 , 1 . 0 y . 1 073 ;
1 1
 1   1   1 
при i 2 : k . 0 121034 , k . 0 1320859 , k . 0 1326385 ,
1 2 3
 1 
k . 0 1442980 , x   242805 ;
4 2 , 2 . 0 y 2 . 1
 
при i 3: x 3 . 0 , y . 1 399717 ;
3 3
  . 1 583648 .
при i 4 : x 4 . 0 , y
3
4
Контрольні запитання
1 Що таке диференціальні рівняння
2 Що називають задачею Коші
3 Однокрокові та багатокрокові методи

4 Метод Ейлера
5 Методи Рунге – Кутта

27