Page 57 - 4951

u  y 1 u  y dx t dy 1
 yx ;  ln x x ;  e ;  .
x  y  dt dt t
У точці М параметр t  1. Обчислимо значення
du
похідної за умови
dt
  ex t ,
 du  1 0
 y ln t (M )  0e e  ln ee  1 . 1
 t  . 1 dt


Приклад 7-4. Скласти рівняння дотичної площини і
нормальної прямої у точці М(3;2;12) до поверхні
x 2  y 2  5 x 4  zy  . 0
Розв’язання. Поверхню задано рівнянням
F (x ; y ;z )  0, тому рівняння дотичної площини у точці
M (x ; y ;z ) знайдемо за формулою
0 0 0
F (  M )(  xx )  F (  M )(  yy )  F (  M )(  zz )  , 0
x 0 y 0 z 0
а рівняння нормальної прямої за формулою
x  x y  y z  z
0  0  0 .
F (M ) F (M ) F (M )
x y z
Отже,
F (  M )  2 ( x  ) 5  11 , F (  M )  ( 2 y ) 4   , 8 F (  M )   . 1
x M y M z
Підставимо одержані похідні у формули:
11 ( x ) 3  ( 9 y  ) 2  ( 1 z 12 )  0 або 11x - 8y 5 - z -  0 –
рівняння дотичної площини; рівняння нормальної прямої:
x  3 y  2 z  12
  .
11  9  1

Приклад 7-5. Знайдіть екстремуми функції
z  x 3  y 3  3xy  11 .
Розв’язання. Знайдемо стаціонарні точки з умови
рівності нулю частинних похідних першого порядку.

56