Page 58 - 4951

 z  3x 2  3y ,  z  3y 2  3x ,
x y
 2  3y  ,0  2  ,y   xy 2 ,
3x
x
 2   2   4
3y  3x  0  y  x  x  x .


 x  ,0 x  ,0 y  ,0
x 4  x  ,0 x x 3 1  ,0 1 1
 3 
x
 x 1  ,0  2  ,1 y 2  .1
Розв’язками цієї системи будуть дві точки
M ) 0 ; 0 ( i M 1 ; 1 ( ). З’ясуємо, чи є вони екстремумами,
1 2
використовуючи критерій Сильвестра. Для цього
обчислимо значення визначника
 2 z  2 z
x  2  x y
 
 2 z  2 z
 y x y  2
у стаціонарних точках.
2
2
2
2
 z  z  z  z
Маємо  6x ,  6y ,    . 3
x 2 y 2 x y y x
0  3
У точці M ) 0 ; 0 ( ( M )    9  0, отже, ця
1 1
 3 0
точка не є точкою локального екстремума.
6  3
У точці M ) 1 ; 1 (  (M )   36  9  27  0 ,
2 1
 3 6
тобто M ) 1 ; 1 ( є точкою локального екстремума, а саме
2
точкою локального мінімуму (z ) 1 ; 1  z  10 (враховано
min
2
 z
(M 2 )  6  0 ).
x 2

Приклад 7-6. Знайдіть найбільше і найменше
2
2
значення функції z  x  3 y  x  y в області D,
обмеженій лініями x , 0 y   , 1 x  y  . 1
57