Page 22 - 4845

Метод проекцій
Векторне рівняння (2.8) проекціюємо на осі координат

l cos  l cos  l  l cos  ,
1 1 2 2 0 3 3  (2.9)
l 1 sin 1  l 2 sin 2  l 3 sin 3 . 
Піднесемо до квадрату рівняння (2.9) і просумуємо їх. Прийдемо до
виразу
а cos 2  b sin 2  с ,
де a  2 ll 1 2 sin  , b  2 ll 1 2 cos 1  2 ll 0 2 , с  2 ll 1 0 cos 1 - l 1 2 - l 2 2 - l  l .
2
2
1
0
3
Це рівняння можна представити у вигляді
sin  A 2    c , (2.10)
A  a  b , tg  b a .
2
2
Розв’язком рівняння (2.10) є
 c   b 
 2  arcsin     arctg   .

 a 2  b 2   a 
Із першого рівняння системи (2.9) визначаємо кут 
3
 3  arcсos  1 cos 1  l 2 cos 2  l 0   l .
 l
3
Тепер можна знайти координати будь-якої точки механізму. Наприклад,
точки Е.
x = x + l cos + l cos (  + ),
E O 1 1 AE 2 21 (2.11)
y = y + l 1 sin 1 + l AE sin (  2 + 21 ).
E
O
Покажемо тепер, як цю задачу можна розв’язати у Mathcad. Розв’яжемо
її за допомогою обчислювального блоку Given-Find (Задано-Пошук).
Фрагмент програми Mathcad наведено нище.
Кути  і  визначають положення шатуна і коромисла у шести
3
2
положеннях кривошипа.
Приступаємо до визначення швидкостей ланок і окремих точок
механізму. Диференціюємо рівняння (2.9) за часом. Отримаємо систему
лінійних рівнянь відносно невідомих кутових швидкостей  і 
2
3
 l sin    l sin   l sin , 
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3  (2.12)
 1 l 1 cos  1 1   2 l 2 cos 2   3 l 3 cos 3 . 
Швидкість точки Е визначимо диференціюванням залежностей (2.11).
    l sin   l sin    ,
Ex 1 1 1 2 AE 2 21 (2.13)
 Ey   1 l 1 cos   2 AE cos  l 2  21   .
1
Абсолютна швидкість точки Е
2
   2 Ех   Еу .
Е
Систему (2.12) ще раз диференціюємо за часом, в результаті отримаємо
систему лінійних рівнянь відносно невідомих кутових прискорень ланок
механізму  і  .
3
2

21