Page 38 - 4818

1.7 Синтез оптимальних за швидкодією систем

Нехай існує об’єкт управління, що описується рівнянням:
y  , (1.7.1)
u


де u  u . Для опущення викладок вважатимемо, що u  1.
Необхідно синтезувати управління u  u (( ), ( ))y t y t  , яке
забезпечує найшвидше приведення об’єкту з довільного
початкового стану в стан спокою:

() 
yt 1 y () 0t  1 . (1.7.2)
Систему (1.7.1) з проведенням заміни y  x 1 ; y   x
2
можна записати у вигляді:
x 
  1 x 2 ;
 (1.7.3)

 x  . u
2
Функція H та спряжена система при цьому мають вигляд:
1
H   x   2 u ; (1.7.4)
1 2
1
  1 0;    2   1 . (1.7.5)
Максимум H досягається при:
1
u  1sign  2 (t  ) . (1.7.6)

Очевидно, що
 () constt    1 ( ) ;t 0
1
 2 () t   1 ( )(t t  0 )   2 ( ),
t
t
0
0
причому  2 (t) змінює знак лише один раз, і відбувається це в
момент часу:
 ()t
t  2 0 t  . (1.7.7)
 1 () 0
t
0
Для синтезу оптимального управління побудуємо фазові

траєкторії системи (1.7.3):
dx x
1  2 при u  const; u   1.
dx 2 u
 x  0,5x  2 c при u  1;

 1 2
2
 x  0,5x  c при u   1.

2
1
Одержуємо сімейство парабол (рис. 1.7.1-1.7.2).
38