Page 36 - 4818

Кожна з компонент оптимального управління являє собою
кусково-постійну функцію, точками розриву якої є точки

обернення в нуль функції:
n
 k ()t   b  ik i (),t k  1,..., .m

i 1
Кожна точка розриву  k ()t точці переключення.

Теорема про n інтервалів: якщо корені характеристичного
рівняння об’єкта (1.6.9) дійсні та різні, то число переключень

кожного з управлінь не перевищує (n  .
1)
Доведення: для функції

n
 i ()t   c e i t  , (1.6.17)
i
i 1
де  – попарно різні, кількість точок переключень дорівнює
i
кількості нулів (1.6.17), доведемо, що в такому випадку кількість
нулів не перевищує (n  .
1)
При n  1 твердження очевидне, оскільки функція y  c e
t 
1
1
не перетинає вісь 0x.
k
Нехай для n  твердження правильне, тобто, функція
k
y   c e має не більше, ніж k  1 нуль.
t 
1
i
i 1
Розглянемо n  1 і припустимо зворотне:
k
1 
k
y   c e i t  (1.6.18)
i
i 1
має як мінімум k  1 нуль. У такому випадку таку ж кількість
нулів матиме і функція:
1 
k

y   c e   1  i t  c ,
i
1
i 2
яка є неперервною та диференційованою будь-яку кількість разів.
У такому випадку yt  () матиме, згідно з теоремою Ролля, як

мінімум k нулів. Але
1 
k
yt  ()  c i  i   1  e    1  i t

i 2

36