Page 31 - 4818

 vx
(( ), ( ), )t x t t
 1 2  min  ( ( ), ( ), ) u x tx t 
t  ut 0 k 0 1 2 (1.5.10)
() u
(( ), ( ), ) t
2
   vx t x t  (( ), ( ), , ) t 
xt x t u
1
2

i
2
1
i 1 x  i 
при n  2, m  1 має вигляд:
 vx
( ,..., , )x t

 1 n  min  ( ,..., , ,...,x x u u ) 
t  uu 2 ,...,u U 0 1 n 1 m (1.5.11)

,
n
1
n
( ,..., , ) t
   vx 1 x n  ( ,..., , ,...,u t 
x
x u
, )

1
1
m
n
i
i 1 x  i 
або, за умови, що оптимальні управління знаходяться всередині
множини U , або обмеження такого роду взагалі відсутні, то
рівняння (1.5.11) можна подати як сукупність рівнянь у
частинних похідних:
 v  n v 
xu
xu
    0 (, )    i ( , , ); t
 t  i 1 x  i
 n (1.5.12)
xu
xu
   0 (, )    v   i ( , , ) t  0, k  1,..., . m
 u  k i 1 x  i u  k

Таким чином, для розв’язку задачі про оптимальне
стабілізуюче управління необхідно розв’язати за умов:
vx 1 1 x t t  (1.5.13)
( ( ),..., ( ), ) 0t
n
1
1
рівняння (1.5.11) або систему (1.5.12).
При t  на оптимальне управління накладається
додаткова вимога асимптотичної стійкості. Якщо   і
0
0
vx 1 n 1 ,...,x , то система (1.5.11), (1.5.12)
( ,..., ) 0x  для всіх x
n
асимптотично стійка.
Приклад: нехай розглядається об’єкт, збурений рух якого
описується в першому наближені рівняннями:
x 
  1 x 2 ;


x
 x   . u
1
2
Необхідно знайти управління u  r (, , )x x t таке, щоб
2
1
функціонал:
31