Page 27 - 4818

n
H    ,,xu      j j  f   , x u , (1.4.9)

j 0 
що називається функцією Гамільтона, де   0 ,..., n  –

вектор спряжених змінних. Точну верхню границю значень цієї



функції за змінною uU  при фіксованих  і x позначимо через



M   , x    supH   , ,x u .

uU
Має місце наступна теорема. 
 
*
Теорема (принцип максимуму). Якщо управління ut ,


t   ,t t і відповідна йому фазова траєкторія   t оптимальні,
*
x
2
1

то існує така ненульова вектор-функція  *   t , що відповідає
 


*
*
функціям x t і ut (тобто задовольняє спряжену систему
 
*
*
ut
x
(1.4.8) з функціями  t і  ), що:




1) функція H  * ,t  *    , u від змінної u   u 1 r  ,..., u
x t
 
набуває максимуму в точці u  u *   t для будь-якого  ,t  t t 2 :
1



 

*
t   ,t t : H  1 2    * ,t x *  ,t u t  M   *    t  * , x t ;
2) у кінцевий момент часу t має місце співвідношення
2



*
 0 *  0t 2  , M   * ,t 2 x t 2  0.
Умови теореми дозволяють серед усіх траєкторій, що


  2
  1
проходять через дві задані точки x і x , виділити окремі
траєкторії, серед яких перебуває і оптимальна траєкторія, якщо
вона існує. Ці умови є необхідними, але не достатніми. Потрібна
подальша перевірка знайдених траєкторій на оптимальність.
Тільки в найпростішому випадку, коли знайдено лише одну
траєкторію, а з деяких міркувань відомо, що оптимальний
розв’язок існує, можна стверджувати, що знайдена траєкторія і є
оптимальною.
Якщо принципу максимуму задовольняють кілька
траєкторій, то для виявлення серед них оптимальної треба
застосовувати додаткові умови. Іноді вдається відокремити
сторонні траєкторії, порівнюючи значення цільового функціоналу.
27