Page 37 - 4754

35

2x 1  4х 2  х 3  9

x
 1  3х 2  2х 3  3

x
 1  2х 2  х 3  1
(Розв’язати самостійно).

3.5. Однорідна квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь

Згідно з теоремою Кронекера – Капеллі однорідна прямокутна СЛАР

AX = 0 завжди сумісна і має тривіальний (нульовий) розв’язок X = 0, бо ранг

розширеної матриці C =(А¦0 ) дорівнює рангу основної матриці A . Нульовий

розв’язок X = 0 єдиний, якщо цей спільний ранг дорівнює числу невідомих. У

противному разі СЛАР має безліч розв’язків.

З наведених міркувань для квадратної СЛАР випливає така теорема:

Однорідна квадратна система AX = 0 має ненульовий розв’язок тоді і тільки

тоді, коли визначник системи дорівнює нулю det A = 0 . Якщо цей визначник

відмінний від нуля, то система має лише нульовий розв’язок.

Приклад 1. Знайти значення параметра α, при яких однорідна квадратна
СЛАР

x 1  х 2  7х 3  0

x
 1  3х 2  5х 3  0

x
 1  х 2  х 3  0

має ненульовий розв’язок (має безліч розв’язків).

1   7
□   det A  0; 1 3  5  0 ;

1  1 

2
  8  33  0; 1  3 ; 2   11 ;

Приклад 2. Переконатись, що дана однорідна квадратна СЛАР має безліч

розв’язків. Знайти її загальний розв’язок і будь-який ненульовий частинний

розв’язок.