Page 33 - 4744

2.1.2 Чисельне диференціювання

У чисельних методах функція неперервного аргумента
замінюється функціями дискретного аргументу – сітковими, або
дискретними функціями. Дискретну функцію при цьому можна
розглядати як функцію цілочисельного аргумента:

y   yi i , i  , 2 , 1 , 0  (2.5)

Для y  i можна ввести операції, які є дискретним
(різницевим) аналогом операції диференціювання:
– права різниця:

 y  y  y , (2.6)
i i1 i
– ліва різниця:

y i  y i  y , (2.7)
 i
1
– центральна різниця:
1
y  i  y  i 1  y  i 1 . (2.8)
2
Різниця другого порядку може бути записана у вигляді:

 2 y    y i   y i1  y i   y i2  2 y i1  y . (2.9)
i
i
Аналогічно можна записати різницю до m-го порядку
включно (для набору, в якому задані значення y , y i1 , , y i m ):
i
m m1
 y    y y  i  (2.10)
i
Диференціювання функцій, заданої таблицею значень в
рівновідалених точках, здійснюється за формулами Лагранжа з
трьома або п’ятьма вузлами за формулами: для випадку трьох

вузлів:

 1

 2 h  y 3  y4 2  y3 1  i 1

 1
 y   y  y  i  ,...,2 n 1 (2.11)
i  i 1  i 1
 2 h
 1
  y3 n  y4 n 1  y n 2   ni
 h2
для випадку 5-ти вузлів:

33