Page 31 - 4744

Для елемента f  відшукується найкраще наближення
R
многочленом виду:
n
j
Q   x  a x . (1.70)
n j
 j 0
Многочлен Q 0  x називається многочленом найкращого
n
рівномірного наближення для f  x , якщо зі всіх можливих
многочленів  xQ виконується нерівність:
n
0
f  Q  f  Q . (1.71)
n n
Такий многочлен існує завжди, а його єдиність має місце при

додатковому допущенні про неперервність  xf .
Теорема Чебишева: для того щоб многочлен Q  x був
n
многочленом найкращого рівномірного наближення неперервної

функції  xf необхідно і достатньо існування на  ba, принаймні

n  2 точок x  ... x таких, що:
0 n 1 
i
f   Qx       f 1 Q , (1.72)
x
i n i n
де i 0 ,..., n 1,   1 одночасно для всіх i.
Приклад. Побудувати многочлен найкращого рівномірного

3
наближення степеня n  1 для   xxf  на відрізку  3;1 . Шукаємо
многочлен виду y  ax  b.
 f  1 a  b  2L ,

,
За теоремою Чебишева: f   add  b  2L


 f   33 a  b  2L ,
додаткова умова одержується з необхідної умови екстремуму
функції:  xg  f   axx   b в точці d :   adf   0.
Одержуємо: f   a 1 b  f  33 a  b, 1  a  b  27  3 a  b , 2 a 26,

13
a  13, 3d 2  13  0  d  , оскільки d  3,1 .
3
Використовуючи друге і третє рівняння (4.17), одержуємо:
f   add  b  f   33  a  b  , 0

13 13 13
 13  b  27  39  b  0
3 3 3
26 13 13 13
  12  2  bb    6
3 3 3 3
Таким чином, многочлен найкращого рівномірного

наближення функції y  першого степеня на відрізку  3;1 має
3
x
13 13
вид: y 13 x  6.
3 3

31