Page 28 - 4744

що розв’язується за методом прогонки, оскільки матриця системи

є тридіагональною. За відомими c з (1.55) одержуємо  , а з (1.53)
i i
обчислюємо коефіцієнти b .
i
Вказаний алгоритм дещо ускладнюється заданням інших
типів граничних умов при x  та x  .
a
b
Будь-який многочлен степеня, що не перевищує трьох,
точно відтворюється кубічним сплайном.

1.2.2 Апроксимація. Методи найкращого наближення.
Метод найменших квадратів.

На відміну від задачі інтерполяції, в яких крива, що наближає
дискретно задану множину значень, обов’язково повинна
проходити через точки вказаної множини, задача апроксимації
значень пов’язана з побудовою кривої заданої аналітичної

структури, яка найкращим чином наближає вказані значенння за
певним критерієм. При цьому не ставиться умова інтерполяції:
одержана крива не обов’язково повинна проходити через кожну з

точок множин, яка апроксимується. Розглянем метод найменших
квадратів.

Нехай задано деяку множину точок M x , y . Необхідно
i i i
встановити, при яких значеннях невідомих констант c
j
залежність
f  f  cx, , c ,..., c  (1.57)
1 2 N
найкращим чином мінімізує функцію:

L
2
S x , y , c ,..., c    y  f x , c , c ,..., c  (1.58)
k k 1 N k k 1 2 N
k 1
Функція (1.58) є сумою квадратів відхилень заданих значень
y від значень функції (1.57) в точках x , що і послужило назвою
k k
вказаного методу. В багатьох випадках задача мінімізації (1.58)
має єдиний розв’язок, що випливає з додатньої визначеності

матриці других частинних похідних (гесіана) в стаціонарній точці
функції (1.58). Найбільш відомою реалізацією методу найменших
квадратів є побудова лінії регресії виду:

y  kx  b, (1.59)

28