Page 27 - 4744

a  x  x  x  ...  x  x  b, (1.48)
0 1 2 N1 N
а також значення  xf в вузлах x :
i
f  f   ix ,  1 , 0 ,..., N (1.49)
i i
Кубічним сплайном, який відповідає функції  xf та вузлам
f називається функція  xs , яка задовільняє умовам:
i
а)  xs є многочленом степеня 3 на кожному сегменті  , xx ;
i 1  i
б)        baCxsxsxs ,  ,   ; ;

в)  xs  f , i  1 , 0 ,..., N .
i i
На кожному з відрізків x , x , i 1 2 , ,..., N функція  xs набуває
i 1 i
виду:
c 2 d 3
s   ax   b x  x  i x  x   i x  x 
i i i i i
2 6 (1.50)
x  x  x
i1 i
Очевидно:

a  s  x , b  s  x , c  s   x , d  s  x   , a  f . (1.51)
i i i i i i i i i i i i i
З умови неперервності функції  xs та її похідних, маємо:
c 2 d 3
a  a  b   xx   i 1   xx   1  i   xx  , (1.52)
i 1  i 1  i i 1  i i 1  i i 1  i
2 6
вводячи позначення h  x  x :
i i 1  i
h 2 h 3
h b  i c  i d  f  f , i 1 2 , ,..., N (1.53)
i i i i i 1  i
2 6
для першої та другої похідної умови непервності дають:

d 2
c h  i h  b  b , i  3 , 2 ,..., N (1.54)
i i i i 1  i
2
d h  c  c , i  3 , 2 ,..., N (1.55)
i i i 1  i
Рівняння (3.22)–(3.24) утворюють систему з 3 N 2 рівнянь

відносно N3 невідомих b , c , d , i 1 2 , ,..., N .
i i i
Дві умови, необхідні для одержання замкнутої системи
лінійних алгебраїчних рівнянь, задаються, як правило, в

граничних точках відрізка  ba; . Так, якщо прийняти, що
  s    sa     0b , то одержуємо: c  c  0.
0 N
Після проведення необхідних викладок, для визначення
коефіцієнтів c одержується система рівнянь:
i
 f  f f  f 
h c   2 h  h   hc c  6 1  i i  i 1  i 
i 1  i i 1  i i 1  i 1  i  
 h 1  i h i 
i  2 , 1 ,...,N  1 , (1.56)
c  c  0
0 N

27