Page 24 - 4744

1.2 Інтерполяція та апроксимація даних.

1.2.1 Формула Лагранжа, похибки інтерполяції. Многочлен
Ерміта. Кубічний інтерполяційний сплайн. Алгоритм прогонки

Задача інтерполяції полягає у відновленні значень функції

f  x на певному відрізку за відомими значеннями цієї функції на
деякій множині точок вказаного відрізку. Умова, за якою вказана

функція приймає відомі значення на деякій множині точок
відрізку, називається умовою інтерполяції.

Якщо задано значення деякої функції в точках x , k  1 , 0 ,..., n:
k
f  x  f , (1.29)
k k
то однозначно визначається поліномом степеня n, який

проходить через точки x , і приймає значення (1.29) вказаний
k
поліном називається інтерполяційним поліномом Лагранжа, для

його побудови використовується лінійна комбінація значень
(1.29) виду:
n
L   x  C  fx , (1.30)
n k k
k 0
причому коефіцієнти  xC визначаються за формулою:
k
x  x x  x  x ... x x  x  x ... x 
C  x  1 2 k1 k1 n (1.31)
k
x  x x  x  x ... x x  x  x ... x 
k 1 k 2 k k1 k k1 k n
Многочлен L  x має степінь на одиницю меншу, ніж
n
кількість точок x , він визначається однозначно.
k
Якщо інтерполюється відома функція f  x за відомими
значеннями у вузлах x , то похибка інтерполяції оцінюється за
k
формулою:
M
f   Lx    x  n 1    x (1.32)
n
n 1 !
де M  sup f n  i   x ,   x – максимальне значення на
n1
x  ba, 
відрізкуінтерполяції многочлена:

   xx   x x  x x  x  x ... x . (1.33)
0 1 2 n
Якщо в кожному з вузлів x , k  0 ,..., n задається не тільки
k
значення функції, але і її похідних f  i  x до порядку N  1
k k
включно; i  2 , 1 ,...,N  1, то для інтерполяції функції f  x
k
використовують інтерполяційний многочлен Ерміта виду:
1
n N k
x
H  x   C  fx  i  , (1.34)
L ki k
k 0  i 0
24