Page 22 - 4744

a 11 0  0   0 
 0 a  0  a 21 0  

де D   22  , L   a 22  ,
        
   a 1 n a n 2 
 0 0  a nn   a a  0 
 nn nn 
 0 a 12  a 1n 
 a 11 a 11 
 a 
U   0  2n a .
   22 
 
  0 

Тоді рівняння методу Якобі в матричній формі можна
записати в формі:

x k 1    L (  U x ) k  D  1 b ,
тобто, матриця перетворення

M   (L  U ), (1.25)
при цьому
 a ij
 ,i  ,j
m   a
i , j ii
 , 0 ,i  .j

Матриця A має домінуючу головну діагональ, якщо кожний
діагональний елемент цієї матриці за модулем більший, ніж сума
модулів інших елементів цього ж рядка:
n
a   a , i 1 , 2 ,  n . (1.26)
ik
ii
k  k , 1 i 
Дана ознака визначає застосовність методу.
Ітераційний метод Гауса-Зейделя – метод розв’язання

b
системи рівнянь Ax  за умови a ii  0 – передбачає розв’язання
кожного рівнянняґ системи окремо відносно тільки однієї

змінної. Однак під час обчислення i-тої компоненти вектора
розв’язку  k  1 -го наближення на поточній  k  1 -й ітерації

використовуються вже знайдені компоненти  k  1 -го наближення
з меншими індексами:
n  n
b   a ij x k 1   a ij x  k
j
i
j
a k 1   j 1 j i 1 , i 1 2 ,  n (1.27)
i
a ii
У матричній формі рівняння для методу Гаусса-Зейделя
можна записати у вигляді:

k 1  k 1   k  1
x   Lx  Ux  D b ,
звідки матриця перетворення

22