Page 12 - 4621

2. ЧАСОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛІНІЙНИХ САК

У лекції розглянуто основні принципові підходи для теоретичного опису лінійних САК,
подано опис типових сигналів та часових характеристик, за якими вивчаються САК.

Процес взаємодії певних пристроїв та елементів, з яких складається будь-яка САК,
виражається в перетворенні одного виду енергії в інший. Ця енергія передається від одного
елемента до іншого у строго визначених напрямах. Кожний елемент (ланка) розглядається як
перетворювач вхідної дії у вихідну реакцію.
На певному етапі розроблення та дослідження САК одержують її математичний
опис. Математичний опис може бути аналітичним (за допомогою рівнянь), графічним (за
допомогою графіків, структурних схем і графів) або табличним (за допомогою таблиць).
Для одержання математичного опису системи складають опис її окремих елементів.
Сукупність усіх рівнянь елементів САК дає рівняння системи. Рівняння (а також
структурні схеми) САК називають її математичною моделлю. Кожний елемент, як і САК у
цілому, в динамічному режимі описуються диференційними рівняннями. Динамічний режим
проходить тоді, коли в системі після нанесення зовнішніх дій проходять процеси
встановлення заданого стану. У більшості випадків намагаються перейти до лінійних рівнянь
виду:
 n y ) (t  n 1 y (t )  m x (t )  m 1 x ) (t
a  a  ... a y ) (t  b  b ... b x ) (t . (2.1)
n n n 1 n 1 0 m m 1 m 1 0
t  t  t  t 
У рівнянні (2.1) до лівої частини входить вихідна величина y(t) та її похідні, а до
правої - вхідна величина x(t); а0, а1, a2 ... аn; та b0, b1, b2, … bm – постійні коефіцієнти.
Для опису динаміки роботи САК одержують неоднорідне лінійне
диференційне рівняння з постійними коефіцієнтами. Розв’язавши його, ми одержимо
всю інформацію про поведінку системи. Спочатку згадаємо основні положення теорії
диференційних рівнянь.
У алгебраїчному рівнянні порівнюють різні функції між собою, в
диференційному рівнянні рівність встановлюється між функціями та їх похідними.
Розв’язком алгебраїчного рівняння є точка на множині значень на (чи ряд точок).
Розв’язком диференційного рівняння є певна функція, або сукупність функцій. У ТАК,
електротехніці, механіці та інших технічних дисциплінах ця функція є функцією часу.
Розв’язок рівняння визначає поведінку системи в часі тобто: як, що і коли буде
відбуватись із системою. Рівняння складають на основі законів природи,
У неоднорідному диференційному рівнянні права частина не дорівнює нулю.
Ця частина визначає зовнішню дію на систему. Однорідне рівняння описує динаміку
системи за умови, що зовнішня дія на неї відсутня, а неоднорідне - динаміку системи,
коли є певна дія на систему. Під динамікою розуміють поведінку системи в часі.
Лінійне рівняння – це рівняння, в якому функція і її похідні бувають лише в
першому степені, тобто немає квадратів функцій, синусів від них, косинусів чи інших
перетворень функцій. Лінійні рівняння описують динаміку лінійних систем. Поняття
лінійних систем ми розглядали – це системи, для яких виконується принцип
суперпозиції. Постійні коефіцієнти – це коефіцієнти, які не залежать від часу.
Загальний розв’язок диференційного рівняння (2.1) містить n постійних
інтегрування. Кількість постійних інтегрування дорівнює порядку рівняння. Порядок
рівняння визначається ступенем найвищої похідної, яка входить у рівняння. Загальний
розв’язок об’єднує всі можливі розв’язки рівняння. Конкретний розв’язок визначають за
початковими умовами. Початкових умов повинно бути рівно стільки, скільки є
постійних інтегрування, тобто їх кількість дорівнює порядку диференційного рівняння.
Розглянемо однорідне диференційне рівняння. Це є рівняння, в якого права
частина дорівнює нулю. Запишемо однорідне рівняння, яке відповідає нашому
неоднорідному рівнянню (2.1):

12