Page 53 - 4570

52

A B A  B B  A (A  B ) (B  ) A
F F T T T

F T T F F
T F F T F

T T T T T

Із таблиці істинності бачимо, що висловлювання (A  B ) (B  ) A
істинне тоді і тільки тоді, коли висловлювання A та B істинні або хибні
одночасно, що й відповідає еквіваленції. Але не за всіх умовних висловлювань
буває так.
Приклад 2.6. У висловлюванні «Якщо число n парне (A), то n ділиться
націло на 4 (B)» показати необхідність і достатність умови і записати її
істинність через знак імплікації.
Розв’язання. Оскільки жодне непарне число на 4 не ділиться, то умова A
є необхідною, але в той самий час є парні числа, які не діляться націло на 4,
наприклад 10. Тобто очевидним є відсутність достатності умови у заданому
висловлюванні. Тому задане висловлювання за умовою A  B хибне, а
правильною імплікацією для заданої умови буде B  A.
Приклад 2.7. У висловлюванні «Якщо геометрична фігура – квадрат (A),
то вона – прямокутник, у якого всі сторони рівні між собою (B)» показати
необхідність і достатність умови і записати її через знак логічного зв’язку.
Розв’язання. За умовою квадрат ( A ) – це прямокутник, у якого всі
сторони рівні між собою ( B ), що є необхідною і достатньою умовою для
виконання B , і тому логічним зв’язком між даними висловлюваннями буде
еквіваленція A  B.
З умовним висловлюванням A  B зв’язані ще три висловлювання:
конверсія, інверсія та контрапозиція. Вони визначаються таким чином: B  A
– конверсія висловлювання A  B ;  A   B – інверсія висловлювання
A  B ;  B   A – контрапозиція висловлювання A  B .
Приклад 2.8. Для висловлювання «Якщо він добре грає у футбол, то він
популярний» знайти конверсію, інверсію та контрапозицію.
Розв’язання. Відповідно до їх означення шукані результати матимуть
такий зміст:
1) конверсія – «Якщо він популярний, то він добре грає у футбол»;
2) інверсія – «Якщо він недобре грає у футбол, то він непопулярний»;
3) контрапозиція – «Якщо він непопулярний, то він недобре грає у
футбол».
Означення 2.8. Висловлювання A ~ B називають еквівалентністю
(еквіваленцією) тоді і тільки тоді, коли висловлювання A і B хибні або істинні
одночасно. Ця операція відповідає у природній мові зворотам: «тоді і тільки
тоді, коли», «для того, щоб», «необхідно і достатньо».