Page 55 - 4570

54

Замінивши прості речення символами атомів, а службові слова – логічними
зв’язками, отримаємо формулу логіки висловлювань (A  ) B C .

ЛЕКЦІЯ 12. ФОРМУЛИ ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЮВАНЬ ТА
ДЕДУКТИВНИЙ ВИСНОВОК

1. Інтерпретація формул логіки висловлювань

Приписування значень T або F атомарним формулам, що входять до
складних формул, називають інтерпретацією.
Усі формули логіки висловлювань розділяються на тотожно істинні,
тотожно хибні та нейтральні.
Означення 2.9. Формулу називають тотожно істинною (тавтологією,
або загальнозначущою), якщо вона набуде значення «Істина» на всіх
інтерпретаціях (наборах значень змінних).
Наприклад, висловлювання «Він піде чи не піде в крамницю» є тавтологією,
оскільки або перше висловлювання, або друге обов’язково відбудеться.
Приклад 2.11. За допомогою таблиці істинності визначити істинність
значення формули логіки висловлювання (A  (A  B ))  B .

Розв’язання. Будуємо таблицю істинності для заданої формули логіки
висловлювання.

A B A  B A (A ) B (A  (A  B ))  B

F F T F T
F T T F T
T F F F T
T T T I T

Із таблиці істинності випливає, що задане висловлювання «Істинне» на
всіх чотирьох можливих наборах змінних цього висловлювання, тому воно є
тавтологією.
Приклад 2.12. Довести, якщо висловлювання A і A  B тавтології, то B
теж тавтологія.
Розв’язання. За умовою висловлювання A і A  B – тавтології. Нехай
при деякому розподілі значень істинності для пропозиційних змінних, які
входять в A і B , B набуває значення «Хибність». Але оскільки A є
тавтологія, то при тому самому розподілі значень істинності A набуває
значення «Істинно». Тоді висловлювання A  B набуває значення «Хибність»,
але це є суперечністю, тому що A  B є тавтологією.
Означення 2.10. Формулу називають тотожно хибною (суперечною, або
нездійсненною), якщо вона набуває значення «Хибність» на всіх
інтерпретаціях (наборах значень змінних).