Page 33 - 4570

32

[5] = {x | (x, 5)  R} = {x | xR5} = {1, 3, 5}.
Аналіз здобутих результатів свідчить про те, що різними є лише три класи:
[1] = [3] = [5] = {1, 3, 5}; [2] ={2}; [4] ={4}.
Символом [A] R позначають множину всіх класів еквівалентності множини
A за відношенням еквівалентності R та називають фактор-множиною
множини A за відношенням еквівалентності R. У розглянутому прикладі
фактор-множиною буде множина класів:
[A] R = {[1], [2], [4]}.
Кожний елемент класу еквівалентності породжує цей же самий клас
еквівалентності, отже представляє цей клас.
Системою представників певного відношення еквівалентності
називається підмножина, яка містить по одному елементові з кожного класу
еквівалентності.
Приклад 1.43. На множині цілих чисел Z визначимо відношення R  Z 
Z за допомогою формули R = {(x, y) | x - y = 3k, k − ціле число}.
Відношення R є рефлексивне, тому що (a, a)  R внаслідок рівності a - a =

0 = 3⋅0 для k = 0.

Відношення R є симетричне, оскільки з належності (a, b)  R випливає, що
a - b = 3k , тобто b - a = 3(-k) і, отже, (b, a)  R.
Відношення R є транзитивне, оскільки з належності (a, b) та (b, c) до R,
випливає, що a - b = 3k 1, b - c = 3k 2, тобто (a, c)  R, оскільки
a - c = a – b + b - c = 3k 1 + 3k 2 = 3(k 1 + k 2),
де k 1+ k 2− ціле число.
Отже, відношення R є рефлексивне, симетричне і транзитивне, тому воно є
відношенням еквівалентності.
Приклад 1.44. Відношення паралельності прямих q на площині є
відношенням еквівалентності, тому що:
1) q | | q − рефлексивне;
2) q 1 | | q 2  q 2 | | q 1 − симетричне;
3) q 1 | | q 2, q 2 | | q 3  q 1 | | q 3 − транзитивне.
Кожний клас еквівалентності в множині прямих на площині – це множина
паралельних прямих, яка повністю визначається напрямком однієї прямої.
Приклад 1.45. Вважатимемо, що точка M 1(x 1, y 1) площини є еквівалентна
точці M 2(x 2, y 2) цієї ж площини, якщо x 1 = x 2. В даному випадку класами
еквівалентності будуть множини точок на площині з рівними абсцисами (тобто
всі прямі, які є паралельні до осі Оу), а фактор-множиною буде множина всіх
прямих на площині, які є паралельні до осі Оу.
Прикладами відношення еквівалентності є також рівність векторів,
логічних тверджень тощо.