Page 32 - 4570

31

якщо існує елемент M  E, що M  a для кожного a  A, то M називається
верхньою границею множини A.
Якщо m та M належать до множини A, то m та M відповідно називаються
мінімумом та максимумом множини A і позначаються символами:
min A або min ; max A або max .
a A a A
Верхня та нижня границі для кожної множини існують не завжди і не
завжди є єдині.

Якщо існує найбільша нижня границя множини А, то вона називається
інфімумом і позначається inf A, а якщо існує найменша верхня границя
множини А, то вона називається супремумом і позначається sup A.

3. Визначення відношення еквівалентності

Означення 1.33. Бінарне відношення R на множині А називається
відношенням еквівалентності, якщо воно є одночасно рефлексивне,

симетричне і транзитивне (позначається символами ∼ , ≡ або a = b(mod R).

Приклад 1.40. Рівність чисел та множин є відношенням еквівалентності.
Наприклад, класифікація об’єктів деякої множини A на непересічні
підмножини елементів A i, де, A   A , A  A   (i = k), якщо вони мають
i
i
k
i
одинакові властивості, визначає відношення еквівалентності. В даному випадку
елементи однієї підмножини A i володіють однаковою властивістю та є
еквівалентні до елементів тієї ж самої підмножини і не є еквівалентні до
елементів решти підмножин A k (i ≠ k), до того ж серед підмножин i A немає
порожніх. Здобуті підмножини A i називаються класами еквівалентності
множини А.
Приклад 1.41. Нехай A − множина студентів одного міста. Визначимо на
множині A відношення R − « x та y навчаються в одному ВНЗ», де x, y  A.
Відношення R буде відношенням еквівалентності, якщо жоден студент міста не
навчається в декількох ВНЗ. В даному випадку класи еквівалентності
визначатимуть студенти одного ВНЗ.
Приклад 1.42. Відношення R:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (3,1), (3, 5), (5,1), (5, 3)}
Розбиває множину А на класи [1], [2], [3], [4], [5], [6], де:
[1] = {x | (x, 1)  R} = {x | xR1} = {1, 3, 5}.
Перевіримо:
1  [1], оскільки (1, 1)  R;
3  [1], оскільки (3, 1)  R;
5  [1], оскільки (5, 1)  R.
[2] = {x | (x, 2)  R} = {x | xR2} = {2};
[3] = {x | (x, 3)  R} = {x | xR3} = {1, 3, 5} ;
[4] = {x | (x, 4)  R} = {x | xR4} = {4};