Page 34 - 4570

33

ЛЕКЦІЯ 8. ПОТУЖНІСТЬ МНОЖИН І ЗАСТОСУВАННЯ ВІДНОШЕНЬ

1. Потужність множин
Означення 1.34. Кардинальним числом (позначається Card A або |A|)
називається деякий об’єкт для позначення потужності будь-якої множини із
сукупності множин.
Означення 1.35. Потужністю скінченної множини A називається

кількість її елементів.
Кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів скінченної
множини на випадок нескінченної множини.
Означення 1.36. Стверджують, що множини A = {a 1, a 2, . . ., a n, . . .} та B =
{b 1, b 2, . . ., b n, . . .} мають однакову потужність, якщо можна встановити
взаємнооднозначну відповідність між їхніми елементами b i = f (a j). В даному
випадку множини A та B називають рівнопотужними та позначають A ~ B.
Кожні не порожні скінчені множини з n елементів є рівно потужні множині
певного відрізку натурального ряду N n , де N n ={1, 2, 3, . . ., n} В даному
випадку їхня потужність дорівнює n < ∞.
Потужність порожньої множини  вважають рівною 0, тобто  = 0.
Приклади 1.46:
1) якщо A = {−2, 0, 3, 5}, то |A| = 4.
2
2
2) |N| = |N |, де N = N  N, N − множина натуральних чисел.
3) якщо множини A та B мають скінчену кількість елементів, то |A  B| =

|A| ⋅ |B|.

n
n
4) |A | = |A| , n < ∞.
Означення 1.37. Кожна множина, яка рівнопотужна множині натуральних
чисел, називається зліченною. Її потужність позначається літерою  (алеф
0
нуль, алеф − перша літера єврейської абетки).
Приклад 1.47. Множина непарних чисел P є рівнопотужна множині всіх
натуральних чисел N, тому множина P є зліченою множиною і її потужність |P|
=  .
0
Означення 1.38. Якщо існує взаємнооднозначна відповідність між
*
множиною A і деякою власною підмножиною B множини B, тоді кажуть, що
потужність множини A не менша від потужності множини B і записують
|A| (|B|.
*
Теорема 1.1. Якщо множина A є рівнопотужна підмножині B множини B
*
*
(тобто A ~ B ) і множина B є рівнопотужна підмножині A множини A (тобто B
*
~ A ), то множини A та B рівнопотужні (A ~ B) і їхні потужності дорівнюють
одна одній: |A| = |B|.
Теорема 1.2. Потужність множини E завжди менша за потужність
множини P(E), де P(E) − множина всіх підмножин множини E.