Page 29 - 4570

28

2) якщо А = В = R, то функція f : x  4x - 3 задає відображення А на В
(сюр’єктивне);
+
3) якщо А = R, B = R , то функція f : x  3x − ін’єктивне відображення,
-1
тому що воно є взаємнооднозначне: f : x  log 3x.
Зауваження:
-1
1. Якщо функція f : A  B є бієкцією, то функція f : B  A також буде
-1 -1
бієкцією і (f ) = f.
2. Бієкція скінченної множини А на себе називається підстановкою. Якщо
множина має n елементів, то можна розглядати множину n! Всіх підстановок,
пов’язаних з даною множиною А.
Означення 1.26. Елемент x називається нерухомою точкою відображення
f, якщо f (x) = x.
Зауваження. Оскільки функція є окремим випадком відношення, це
означає, що для функцій є також визначена композиція, яка в даному випадку
називається суперпозицією функцій. Нехай f − функція, визначене на множині
А із значеннями в множині В, а g − функція, визначена на множині В із
значеннями в множині C, тоді композиція gf є функція, яка діє з множини А в

множину С. Таким чином, суперпозиція функцій знову є функцією.
З означення суперпозиції маємо, що:
(gf)(x) = g(f(x)).
Приклад 1.36. Нехай задано функції:
a  a a a  l  m n 
f   1 2 3 4  та g    .
 l m n l   c 1 c 2 c 3
Тоді:

a  a a a 
g f   1 2 3 4  .
 c 1 c 2 c 3 c 1 
-1
-1 -1
Для відображень g і f справедлива є формула (g f) = f g .
Нехай задано множину A = {a 1, a 2, . . ., a n}.
Означення 1.27. Тотожним відображенням називається відображення,
яке кожному елементові a i  A ставить у відповідність цей же самий елемент
(позначається символом 1 A). Таким чином:
a  a ... a 
1  1 2 n .
A  
 a 1 a 2 ... a n
-1
Означення 1.28. Якщо f та f − відображення, визначені на множині А зі
значеннями в цій самій множині А, то відображення f називається
відображенням на себе (бієкцією на себе) і мають місце рівності:

-1
-1
1 A ⋅ f = f ⋅ 1 A = f ; f ⋅ f = f ⋅ f = 1 A. (1.2)

Приклад 1.37. Нехай відображення f задано таблицею.