Page 29 - 4570
P. 29

28


                  2) якщо А = В = R, то функція f : x   4x - 3 задає відображення  А на В
            (сюр’єктивне);
                                            +
                  3) якщо А = R, B = R  , то функція f : x   3x − ін’єктивне відображення,
                                                         -1
            тому що воно є взаємнооднозначне: f   : x  log 3x.
                  Зауваження:
                                                                                  -1
                  1. Якщо функція f : A   B є бієкцією, то функція f   : B   A також буде
                           -1 -1
            бієкцією і (f  )  = f.
                  2. Бієкція скінченної множини А на себе називається підстановкою. Якщо
            множина має n елементів, то можна розглядати множину n! Всіх підстановок,
            пов’язаних з даною множиною А.
                  Означення 1.26. Елемент x називається нерухомою точкою відображення
            f, якщо f (x) = x.
                  Зауваження.  Оскільки  функція  є  окремим  випадком  відношення,  це
            означає, що для функцій є також визначена композиція, яка в даному випадку
            називається суперпозицією функцій. Нехай f − функція, визначене на множині
            А  із  значеннями  в  множині  В,  а  g  −  функція,  визначена  на  множині  В  із
            значеннями в множині C, тоді композиція gf є функція, яка діє з множини А в

            множину С. Таким чином, суперпозиція функцій знову є функцією.
                  З означення суперпозиції маємо, що:
                                                   (gf)(x) = g(f(x)).
                  Приклад 1.36. Нехай задано функції:
                                          a   a    a    a             l   m   n 
                                     f     1  2    3    4    та  g              .
                                           l  m    n     l           c 1  c 2  c 3
            Тоді:

                                                        a   a    a    a 
                                              g f     1    2    3    4   .
                                                       c 1  c 2  c 3  c 1 
                                                                             -1
                                                                                   -1 -1
                  Для відображень g і f справедлива є формула (g f)  = f g .
                  Нехай задано множину A = {a 1, a 2, . . ., a n}.
                  Означення  1.27.  Тотожним  відображенням  називається  відображення,
            яке кожному елементові a i  A ставить у відповідність цей же самий елемент
            (позначається символом 1 A). Таким чином:
                                                      a   a    ... a 
                                                1     1    2         n  .
                                                 A                    
                                                      a 1  a 2  ... a n
                                                      -1
                  Означення 1.28. Якщо f та f   − відображення, визначені на множині А зі
            значеннями  в  цій  самій  множині  А,  то  відображення  f  називається
            відображенням на себе (бієкцією на себе) і мають місце рівності:




                                                                            -1
                                                                      -1
                                    1 A ⋅ f = f ⋅ 1 A = f ;                 f ⋅ f  = f ⋅ f = 1 A.      (1.2)


                  Приклад 1.37. Нехай відображення f задано таблицею.
   24   25   26   27   28   29   30   31   32   33   34