Page 31 - 4570

30

яких можна вивчати окремо наслідки з цих комбінацій, притаманні всім
відношенням з такою комбінацією властивостей. Розгляд розпочнемо з
відношення порядку, яке дозволяє порівнювати поміж собою елементи однієї
множини.
Означення 1.30. Бінарне відношення R, яке визначено на множині А,
називається відношенням порядку, якщо воно є одночасно антисиметричне і
транзитивне.
Означення 1.31. Бінарне відношення R на А називається відношенням
нестрогого порядку, якщо воно є одночасно рефлексивне, антисиметричне і
транзитивне.
Означення 1.32. Бінарне відношення R на А називається відношенням
строгого порядку, якщо воно є одночасно антирефлексивне, антисиметричне та
транзитивне.
Якщо відношення порядку є повне, то воно називається відношенням
повного, або лінійного порядку, а якщо воно не має властивості повноти, то
називається відношенням часткового порядку. У такому випадку множина А із
заданим на ньому відношенням R називається частково впорядкованою
множиною (позначається (A, R), або просто А).
Множина, на якій визначено відношення повного порядку, називається
лінійно впорядкованою.
Зазвичай нестрогий порядок позначають через « ≤ ». У даному випадку
маємо нестрого впорядковану множину (A, ≤). Відношення строгого порядку
зазвичай, позначають знаком « < ». Відношення порядку в загальному випадку
позначають знаком «  ».
Приклад 1.38. Нехай A − множина дійсних чисел, а відношення R на А є R
={(x, y) | x ≤ y}. Тут R − відношення нестрогого повного порядку, тому (A, R) −
нестрого впорядкована множина (лінійно впорядкована).
Приклад 1.39. Нехай C ={1, 2, 3}, а P(C) − булеан множини С, тобто
множина всіх підмножин множини С. Тоді:
P(C) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
3
Ця множина містить 2 = 8 елементів.
Відношення R на множині P(C) визначимо як URV, якщо U  V, де U, V 
C (R − відношення включення множин, тобто елемент (U, V)  R, якщо U  V).
Наприклад, ({3}, {1, 3})  R, тому що {3}  {1, 3}, а ({1, 3}, {3})  R, оскільки
{1, 3}  {3}.
Можна перевірити, що відношення R визначене у такий спосіб, є
рефлексивне, антисиметричне та транзитивне, тому на множині P(C) воно
визначає нестрогий порядок, тобто відношення R на булеані P(C) є
відношенням нестрогого часткового порядку.

2. Верхня й нижня границі множини

Нехай A − підмножина впорядкованої множини E , на якій визначено
відношення порядку «  ». Якщо існує такий елемент m  E , що m  a для
кожного a  A, то m називається нижньою границею множини A. Аналогічно,