Page 86 - 4523

перехідного процесу X c  iT з часом затухає, тобто якщо
lim X c  iT  . 0 (2.45)
i 
Вільна складова X c  iT є розв’язком однорідного
рівняння
 za 0 n  a 1 z n 1  ... a n   zX  . 0 (2.46)
Розв’язок рівняння (2.46) являє собою суму
n
X c     C k Z i k , (2.47)
iT
k1
де C – сталі інтегрування, які залежать від початкових
k
умов; Z – корені характеристичного рівняння
k
n
a 0 z  a 1 z n 1  ... a  . 0 (2.48)
n
Із виразу (2.47) видно, що при i  рівність X c  iT
прямує до нуля лише в тому випадку, якщо всі корені Z за
k
модулем менші одиниці, тобто якщо
Z k  , 1 k  ; 1 ; 2 ...; n . (2.49)

Звідси можна сформулювати загальні умови стійкості: для
дискретної системи необхідно і достатньо, щоб всі корені
характеристичного рівняння були в середині кола одиничного
радіуса з центром в початку координат (рис. 2.10, б).
Якщо хоча б один корінь z розміщується на колі
k
одиничного радіуса, то система знаходиться на межі стійкості;
при z k  1 система нестійка.
Таким чином, одиничне коло в площині коренів z є
k
межею стійкості і відіграє таку ж роль, як і вісь в площині
коренів p (рис. 2.10, а).
k
Цей висновок випливає також з основної підстановки
(2.16) методу z-перетворення. Дійсно, нехай p    i .
k
k
k
85