Page 74 - 4495

Для заданої стрілки f - dom  f – є доменом (або джерелом) f і
cod  f – ко-доменом (або ціллю). Для кожного об’єкта A і Id є
A
стрілкою ідентифікації для A. Будемо записувати : Af 1  A для по-
2
значення того факту, що f є стрілкою з доменом A і ко-доменом A .
2
1
Монострілку будемо позначати через f : A  A . Для заданих
1
2
f 1 : A  A і f 2 : A  A композицію f і f будемо позначати через
4
3
2
1


2
2
1
f  f , або через f 1 ; f .
Для заданих двох об’єктів A 1 i A в K , через  , AAH 1 2  будемо
2
позначати набір стрілок з доменом A і ко-доменами A . Функтором
1
2
F із категорії K в категорію K , F :K  K і якщо F  : K   K і
1
2
2
1

F 2 :K  K , тоді :K  1 K є природним перетворенням із F в F .
2
1
2
2
1
K
Через KF n 1 , K 2  або K 2 1 позначимо категорію функторів із K і
1
K і їх природні перетворення.
2
Розглянемо приклади застосування теорії категорій.
Категорія 1. Має єдиний об'єкт і єдину стрілку. Цим вона визна-
чається повністю. Позначимо об'єкт a, стрілку f . Тоді обов'язково
dom f  cod f  a. Як одиничну стрілку можна брати лише f, тобто
1 a  f . Єдиною парою, для якої можна визначити композицію, є па-
ра f , f , і ми вважаємося f  f  f . Це дає закон тотожності, тому
що 1 a  f  f 1 a  f  f  f , і закон ассоціативності, тому що
f   f  f   f  f  f  f . Зобразимо отриману категорію діагона-
лей:

f

a

Тут a і f можуть бути чому завгодно, наприклад, у якості a мо-
жна вибрати безліч із тотожною функцією f на ньому, або a  0,

f   ,0 0 . Як тільки кожні два предмети обрані й позначені через a

f
f
і f , а потім визначені, як вище, dom f , cod , 1 і f  , так відразу
a
приходимо до структури, що задовольняє аксіомам категорії. Які б не
були a й f , ця категорія буде схожа на останню діаграму. У цьому
змісті така категорія існує і єдина.
Категорія 2. Ця категорія має два об'єкти й три стрілки й зобра-

жується діаграмою виду

74