Page 76 - 4495

рядку в такий спосіб. Її об'єктами є елементи p безлічі P , а стрілками
– пари p, q , для яких pRq. Пари p, q є стрілкою з p в. q Для пар,

що компонуються

 p, q  q, s

p    q   s
покладемо
q, s  p, q  p, s .

Відзначимо, що якщо p, q й q, s – стрілки, те pRq й qRs, то-

му pRs (транзитивність), звідси випливає, що p також стрілка. Є не
s ,
більш однієї стрілки з p в q, причому її наявність залежить від того,
виконане чи ні pRq, а за транзитивності існує і єдина композиція стрі-

лок. З рефлексивності p, p – завжди стрілка, який би не був еле-

мент p. Більше того, p, p  l .
p
У прикладах 1 - 3 визначені категорії передпорядку, відношення
передпорядку на яких задовольняє додаткову умову:

q
3. Антисиметричність: якщо pRq й qRp, те p  . Антисимет-
ричне відношення передпорядку називають відношенням часткового
порядку. Цей вид відносин звичайно позначають через m, тобто pm
q
замість pRq . За визначенням частково впорядкована безліч є пари

P  , P – безліч P і відношення  на ньому. Ця структура відіграє

центральну роль при розгляді топосів – особливих категорій, що ма-
ють фундаментальне значення в теорії категорій.
Приклади. Безліч {0} перетворюється в частково впорядковане

безліч, якщо 0 . Відповідною категорією передпорядку є категорія 1.
0
Найпростіший приклад категорії передпорядку, але не часткового по-
рядку є категорія із двома об'єктами p й q, і чотирма стрілками, для

q
якої pRq й qRp, але p  .

p q
Дискретні категорії. Нехай b – об'єкт категорії G. Тоді G-
стрілка l визначена однозначно в силу її властивості, вираженого за-
b
коном тотожності. Дійсно, якщо стрілка  :1 b  b має ту властивість,
що діаграма
f
a b g

1
f
b c
g

76