Page 71 - 4495

множини X й функції включення підмножини X в Y досить далекі, з
теоретико-множинної точки зору вони збігаються, тобто являють со-
бою ту саму множину упорядкованих пар.
Крім того, визначення функції у вигляді деякої підмножини впо-

рядкованих пар створює уяву про функцію як про деякий фіксований
статичний об'єкт. Це не заперечує «операційний» або перетворюваль-
ний аспект даного поняття. Прийнято говорити про «застосування»

функції до деякого аргументу або про функцію, що діє на деякій об-
ласті. При цьому створюється певне враження дії й навіть руху, що
визначає доцільність використання поняття стрілок як синоніма по-
нять «функція», «відображення», «перетворення». У цих поняттях

проглядається явна аналогія з фізичною силою, що діє на об'єкт
x dom f , щоб перемістити його куди-небудь або замінити його на

інший об'єкт y Im f . Дійсно, геометричні перетворення (обертання,
відбиття, розтягування і т.д.) є функціями, які практично буквально

описують рух, а в прикладній математиці сили фактично моделюють-
ся функціями. Динамічні якості являють собою істотну частину по-
няття функції, використовуються в математиці, а визначення функції

через упорядковані пари не відображає цього. Воно є формальною
теоретико-множинною моделлю інтуїтивної ідеї функції – моделлю,
яка охоплює лише один аспект цієї ідеї, а не всі її значення в цілому.
Категорію можна спочатку уявляти собі у вигляді деякого мате-

матичного універсума, який задається специфікацією об'єктів певного
роду й певного роду функцій між такими об'єктами. У теорії катего-
рій, як ми вже відзначали раніше, замість слова “функція” використо-

вують більш нейтральне слово “стрілка” (або “морфізм”). У таблиці 1
представлені деякі категорії, зазначені їхні об'єкти й стрілки.
Кожен із цих прикладів, крім трьох перших, є об'єктами множин з
визначеною додатковою структурою. Стрілками для них служать усі

функції між множинами, які в кожному з розглянутих випадків задо-
вольняють умовам, пов'язаним із цією структурою.
Усі приклади мають загальні властивості:

а) з кожною стрілкою зв'язано два спеціальні об'єкти – її початок
і кінець;

б) операція композиції, яка застосовується до певних пар  f,g 
стрілок даної категорії (коли область визначення збігається з облас-
g
тю значень f ) і дає в результаті нову стрілку g f , що також належить

даній категорії (композиція гомоморфізмів груп є гомоморфізм груп,

71