Page 75 - 4495

0 1

Як об'єкти оберемо числа 0 і 1, а як стрілки – пари

 ,0 0 , ,0 1 ,  ,1 1 . Нехай  ,0 0 :0  0,  ,0 1 :0  1,  1,1 :
1 1. Тоді 0 0 ,   1 (одинична стрілка на 0) і 1  1 , 1 . За наши-
0
1
ми вимогами композицію на цій безлічі можна ввести тільки одним
способом:
1  1  1 , ,0 1  1 0  ,0 1 , 1   ,0 1  ,0 1  і 1  1  1 .
0
0
0
1
1
1
1
Категорія 3. Має три об'єкти й шість стрілок.

Композиція визначена однозначно.
Передпорядки в загальному випадку. У прикладах 1. – 3. компо-

зиція визначена однозначно, тому що кожні два об'єкти зв'язані не
більш ніж однієї стрілкою. Тому вибір стрілки однозначний, якщо ві-
домі її початок і кінець. У загальному випадку, категорія, у якій будь-
q
які два об'єкти p і q пов'язані не більш ніж однієї стрілкою p  , на-
зивається категорією передпорядку. Якщо P є сукупністю об'єктів ка-
тегорії передпорядку, то на ній визначене бінарне відношення R , тоб-

то підмножина декартова добутку R  P P : p, q  R : тоді. і тільки

q
тоді, коли в даній категорії передпорядку існує стрільця p  . За-
пис pRq  p, q  R.

Відношення R має властивості:

1. Рефлексивність: для кожного p виконане pRp .
2. Транзитивність: якщо pRq й qRs, те pRs .

Умова 1 випливає з того, що для будь-якого об'єкта p існує оди-
q
нична стрілка l : p  p. Для умови 2: стрілка p  в композиції зі
p
s
стрілкою q  дає стрілку p  .
s
Як ми вже відзначали раніше, рефлексивне й транзитивне бінарне
відношення називають відношенням передпорядку. Ми переконалися,
що категорія передпорядку визначає природне відношення передпо-
рядку на сукупності своїх об'єктів. Назад, якщо починати з безлічі P,

передвпорядкованної відношенням R ( тобто R  P P – рефлексивне
й транзитивне відношення), те можна побудувати категорію передпо-

75