Page 69 - 4495

мість того, щоб властивості визначати через властивості його елемен-
тів, як це прийнято в теорії множин, можна визначити їх враховуючи
зовнішні зв'язки цієї множини з іншими множинами [8, 9]. Зв'язки
між множинами виражаються, як і раніше, функціями, а аксіоми для

категорії виводяться із властивостей функцій щодо операції компози-
ції.
Одним з основних понять у теорії категорій є поняття «стрілки»,

абстраговане від поняття функції або відображення, яке використову-
ється замість теоретико-множинного відношення приналежності, ос-
новного блоку математичних конструкцій і вираження властивостей
математичних об'єктів.

Категорію можна розглядати як універсум для певного роду ма-
тематичних міркувань. Такий універсум (категорія) визначається вка-
зівкою «об'єктів» і стрілок, що зв'язують ці об'єкти. Так, універсум

для топологічних досліджень складається з топологічних просторів
(об'єктів категорії) і безперервних функцій (що є стрілками). Універ-
сумом для лінійної алгебри служить категорія, об'єктами якої є векто-

рні простори, а стрілками – лінійні перетворення векторних просто-
рів. Для теорії груп універсумом є категорія груп з гомоморфізмами
груп як стрілок.

Теорія категорій пропонує універсальну мову для роботи із цими
універсумами й переходу від одних універсумів до інших. Основи те-
орії категорій були закладені Самюелем Ейленбергом і Сандерсом
Маклейном на початку 40-х років. Її джерела лежать в алгебраїчній

топології, що зв'язує топологію з теорією груп. Вивчення категорій
швидко перетворилося в самостійну дисципліну математики.
Теорія категорій пропонує елегантні й потужні засоби для вира-

ження зв'язків між великими областями математики і представляє но-
вий теоретичний розділ математики.
З 1935 року, завдяки роботам групи французьких математиків,
об'єднаних псевдонімом Нікола Бурбаки, теорія множин зайняла па-

нуюче положення в математичній практиці.
Це не означає, що математики мислять тільки в теоретико-
множинних термінах, хоча в більшості випадків це дійсно так. Однак

суть справи полягає в тому, що теорія множин служить основним ін-
струментом при викладенні й узагальненні результатів.
Сьогодні практично неможливо знайти ні одну область чистої

математики, будь те математичний аналіз, алгебра, геометрія або тео-
рія ймовірностей, у якій не використовувалися б теоретико-множинні

69