Page 70 - 4495

поняття й позначення.
Вплив теорії категорій на сучасну математику важко переоціни-
ти, однак уже немає повної впевненості, що й у майбутньому всі ма-
тематичні об'єкти будуть розглядатися як математичні структури.

Без сумніву, основна мова теорії множин залишається важливим
інструментом у тих випадках, коли треба розглядати сукупності об'-
єктів. Але поняття самих об'єктів як множин втратило своє переважне

значення в силу появи привабливої альтернативи – теорії категорій.
Розглянемо особливості використання стрілки замість функції.
Поняття функції (відображення) у вигляді функціонального відно-
шення, визначено на підмножині декартового добутку X і Y , тобто у

вигляді f  X, Y, R , де R  X  Y – функціональне відношення між

X і Y , таке, що для кожного x  X існує рівно один y , що задо-
Y
вольняє умові X, Y  R.

При цьому область визначення й область значень функції f , за-
даної як безліч упорядкованих пар задаються апріорно й визначають-
ся як:

dom f  x : x, y  f для некоторого  y  X ,

Im f  y : x, y  f для некоторого x  Y .
У загальному випадку f : X  Y можна називати функцією з X в

Y , де dom f  X , а Im f  Y . Отже, для функції, заданої як безліч

упорядкованих пар, область значень функції визначається не одно-
значно. Це може здатися дрібницею, але ця дрібниця приводить до
деяких труднощів, що ставляться до дуже важливого поняття тотож-

ної функції. Ця функція характеризується правилом   xxf  , тобто
кожний елемент x  dom f під впливом функції  xf переходить у сам

себе. Кожна безліч X має свою власну тотожну функцію, називану
тотожною функцією безлічі X й позначувану id , областю значень
X
якої є дана безліч X . Образ функції id збігається з X . З теоретико-
X
множинної точки зору id X   x, x : x  X . Нехай тепер X – підмно-
жина множини Y , тобто X  . Тоді правило   xxf  задає функцію
Y
з X в. Y Ця функція називається функцією включення підмножини
X в множини Y і позначається через X  . Уживаючи нове поняття
Y
функції включення підмножини X в множини Y , ми підкреслюємо,
що дана функція включає елементи множини X у сукупність елемен-
тів множини Y . Незважаючи на те, що поняття тотожної функції

70