Page 88 - 4371

Знак рівності можливий тільки у випадку пропорційності
координат векторів, тобто тільки тоді, коли
a 1  2 a 3  50  a 3 . Оскільки система даних рів-
нянь несумісна, то нерівність строга.
1.35 Розглянемо вектори  ac, cb, ab  та
x 

y   bc, ab, ac . Тоді
   
2
2
2
2
2
2
abc  cab  bca  x  y  x  y  a 2 b  b 2 c  a 2 c .

Тепер введемо в розгляд нові вектори m   , bc 2 2 , a 2  та

n   , ca 2 2 , b 2 . Дістаємо
   
2
4
4
2
2
4
a 2 b  b 2 c  a 2 c  m n  m  n  a  b  c ,
що завершує доведення. Рівність виконується тільки при
умові a  b  c .
2.1 Якщо ми поміняємо місцями два сусідні рядки визна-
чника, то він змінить знак. Якщо ми переставимо всіма мо-
жливими способами рядки деякого визначника третього по-
рядку, то одержимо три додатних і три від’ємних визначни-
ки, рівних між собою за абсолютною величиною. Таким чи-
ном, !9 визначників розпадаються на !9 6 груп, причому
сума визначників всередині кожної такої групи дорівнює
нулю, тому і сума всіх визначників дорівнює нулю.
2.2 Розглянемо розклад довільного визначника третього
порядку:
a a a
11 12 13
a a a  a a a  a a a  a a a 
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32

a a a
31 32 33
 a a a  a a a  a a a .
13 22 31 12 21 33 11 23 32
Зрозуміло, що всі елементи визначника повинні бути від-
мінні від нуля. Тоді з очевидної рівності
a a a  a a a  a a a  
11 22 33 12 23 31 13 21 32
   a a a   a a a   a a a 
13 22 31 12 21 33 11 23 32

88