Page 87 - 4371

 
Нехай S  OA  S  OB  S  OC  i x  j y . Але, як неваж-
1 2 3
ко бачити,
1  x 2 y 2 x 3 y 3 x 1 y 1 
x   x 1  x 2  x 3  
2   x 3 y 3 x 1 y 1 x 2 y 2  
x 1 x 1 y 1
1  x 2 y 2 x 1 y 1 x 1 y 1  1
  x 1  x 2  x 3   x 2 x 2 y 2  0.
2   x 3 y 3 x 3 y 3 x 2 y 2   2
x x y
3 3 3
Аналогічно доводиться, що y 0.

1.32 Введемо в розгляд вектори u   a, b , c ,
  
2
v   ,1 b , c . Оскільки u  a  b  c , v  1  b  c і
 
u  v  a  b  c , то, використовуючи нерівність
    2
2
2
u  v  u   v , отримуємо
2
2
a 2  b  c 1 b  c    a b  c   3  9 .
a b c
Рівність буде виконуватися при умові, коли   ,
1 b c
тобто при a  1 та довільних невід’ємних b, c таких, що
b  c  2.

1.33 Введемо в розгляд вектори u  a 1007 ,b 1007 ,c 1007  та
  1 1 1 
v   , ,  . Використовуючи нерівність для
a 1006 b 1006 c 1006 
    2
2
2
скалярного добутку у виді u  v  u   v , як і в попере-
дній задачі, отримуємо потрібне співвідношення.
1.34 Розглянемо вектори x    1,1  1 , та

y   a 1 , 2 a 3 , 50  a 3 . Очевидно, що ліва частина
нерівності являє собою скалярний добуток цих векторів і
не перевищує добутку їх довжин, тобто виконується спів-
відношення
a 1  2 a 3  50  a3  1 1 1  a 1  a2 3 50  a3 

 3  48  12 .
87