Page 83 - 4371

 
Рівність досягається тоді, коли вектори a і b колінеарні,
x x x
тобто коли 1  2  3 .
x x x
4 5 6
1.27 Розглянемо спочатку випадок, коли многогранник є
трикутна піраміда ABCD (див. рисунок 1.12). Нехай площі
граней ABD, ACD , BCD і ABC відповідно рівні
   
S , S , S , S і e , e , e , e – одиничні вектори зовнішніх
1 2 3 4 1 2 3 4
нормалей до цих граней. Введемо в розгляд вектори
      
DA  a, DB  b , DC  c , AB  b  a , AC  c  a . Тоді
         
 b  a  a  c  c  b  b  a  c   a
e   , e    , e   , e   .
1  2 3  4   
b  a a  c c  b b  a  c   a
Враховуючи, що
1   1   1   1    
S  b  a , S  a c , S  c  b , S  b  a  c   a ,
1 2 3 4
2 2 2 2
одержуємо:
    1          
S e  S e  eS  S e   ab  a c c b   ab    c a 
1 1 2 2 3 3 4 4
2
1               
   ab  a  c  c b  b  c  b  a  a  c  a  a  0 .
2
Методом математичної індукції вказану рівність неваж-
ко довести для довільної піраміди. Справді, для трикутної
піраміди твердження доведено. Припустимо, що воно
справедливе для пірамід, кількість бічних граней яких не
перевищує n  1. Розглянемо n -кутну піраміду
OA A ... A A (див. рисунок 1.13). Позначимо площі ос-
1 2 n 1 n
нови A A ... A A і бічних граней
1 2 n 1 n
OA A , OA A , , OA A , OA A , OA A і одиничні век-
1 2 2 3 n 2 n 1 n 1 n n 1
тори зовнішніх нормалей  до  них через




S , S , S , S , S , S , та e , e , e ,, e e , e , відпові-
0 2 2 n 2 n 1 n 0 1 2 n 2 n 1 n
дно. Площина OA A ділить піраміду на дві – n 1-кутну
1 n  1
OA A . . . A і трикутну OA A A . Позначимо площу гра-
1 2 n 1  1 n 1 n
83