Page 84 - 4371

ні OA A через S і одиничний вектор зовнішньої від-
1 n  1 n  1

носно першої піраміди нормалі до неї через e ; площу
n  1
многокутника A A . . . A позначимо через S. Згідно з
1 2 n 1  0
принципом математичної індукції можна записати:
     
S e  S e  S e  . . .  S e  S e  0 ,
0 0 1 1 2 2 n  2 n  2 n  1 n  1
    
S   S   Se e  S e  S  e  0 .
0 0 0 n 1  n 1  n n n  1 n  1

Рисунок 1.12 Рисунок 1.13

Додавши почленно ці рівності, одержуємо
      
S e  S e  S e  . . .  S e  S e  S e  0, (1.2)
0 0 1 1 2 2 n  2 n  2 n 1  n 1  n n
що і треба було довести.
Тепер розглянемо довільний опуклий многогранник. Ви-
беремо всередині нього довільну точку O і з’єднаємо з
нею всі вершини многогранника. Цим самим ми розіб’ємо
многогранник на піраміди, основами яких будуть грані
многогранника. Для кожної з цих пірамід запишемо рів-
ність (1.2), а потім всі їх почленно додамо. В результаті
одержимо
   
S 1 e 1  S 2 e 2  . . .  S n e n  0,



де S , S , S , – площі граней многогранника, e , e ,, e –
1 2 n 1 2 n
відповідно одиничні вектори зовнішніх нормалей до цих
граней. Всі інші доданки в цій сумі, як неважко бачити,
взаємно знищаться. Твердження доведено.
84