Page 82 - 4371

 
демо в розгляд вектори a  AB і b  AD , які, очевидно, не
є колінеарними. За цими векторами можна розкласти век-
   
тори AC і BD: AC  a x  b y , BD  b  a . Тоді
     
BC  AC  a  x 1  a b y , DC  AC  b  a x  y 1 b .
Приходимо до рівності:
  2   2     2   2
2
2
 ax  b y  b   a  a  b    x   1 a  b y   ax  y  1  b ,
із якої одержуємо:
        2  
2
2
2
2 axy b  2 ba   2 x   1 ay b  2x y   1 ba  x   1 a  y   1 b ,
2    2 
або  x  1 a 2    2 x   1  xy  y  1  xy   1 ba   y  1 b 2  0 .
Остання рівність легко зводиться до виду:
  2
  x  1 a  y 1   b 0 , що означає, що
  
 x  1 a   by  1  0 . Враховуючи лінійну незалежність
 
векторів a і b , одержуємо: x , 1 y  1. А це означає, що
 
BC  b  AD , DC  a  AB , тобто ABCD – паралелограм,
що і треба було довести.
1.25 Введемо в розгляд вектори, які задані своїми коор-

динатами в ортонормованому базисі: a   , xx 1 2 , x 3  та
  2  2  2 
b   , xx , x . Тоді A  a  b  a b sin 2  , де  – кут
4 5 6
  2  2 
між векторами a і b , B  a b . Зрозуміло, що A  B .
 
Рівність досягається тоді, коли вектори a і b взаємно пе-
рпендикулярні, тобто коли x x  x x  x x  0 .
1 4 2 5 3 6
1.26 Введемо в розгляд вектори, які задані своїми коор-

динатами в ортонормованому базисі: a   , xx 1 2 , x 3  та
   2 2  2 
b   , xx , x . Тоді A   ba   a b cos 2  , де  – кут
4 5 6
  2  2 
між векторами a і b , B  a b . Зрозуміло, що A  B .

82