Page 81 - 4371

1 
 AB  BC  CD  DA . Але OK  OL  OM  ON  0 і
2
 
AB  BC  CD  DA  0 . Тому OA  OB  OC  OD  0, що
і треба було довести.
1.23 Нехай ABCD – даний чотирикутник, O – точка
перетину його діагоналей (див. рисунок 1.10). Необхід-
ність умови очевидна, досить розглянути прямокутні три-
кутники OAB, OBC, OCD і ODA . Доведемо достатність.
Для цього введемо в розгляд вектори
     
a  OA, a  OB, a  OC, a  OD . Тоді AB  a  a ,
1 2 3 4 2 1
     
BC  a  a , CD  a  a 3 , DA  a  a . За умовою
3
1
4
4
2
2 2 2 2       
AB  CD  BC  DA . Отже a 2 2  2 aa 1 2  a 1 2  a 4 2  2 aa 3 4 
           
2
2
2
2
2
 a  a  2 aa  a  a  2 aa  a . Звідси 2a a  a 
3 3 2 3 2 1 1 4 4 2 3 1
      
2 a a  a  0 , або a  a a  a  0 . Але вектор
4 3 1 3 1 2 4
   
a  a колінеарний вектору AC , тому a  a  m AC , при-
3 1 3 1
 
чому m  0; аналогічно: a 2  a 4  BDk , k  0 . Враховуючи
це, із останньої рівності дістаємо: mk AC  BD  0 , або
AC  BD  0 , що означає перпендикулярність діагоналей
AC і BD.

Рисунок 1.10 Рисунок 1.11

1.24 Нехай в чотирикутнику ABCD (див. рисунок 1.11)
2
2
2
2
2
2
виконана рівність AB  BC  CD  AD  AC  BD .
Доведемо, що цей чотирикутник є паралелограмом. Вве-
81