Page 80 - 4371

1.21 НехайCM – медіана трикутника CA B (див. рису-
1 1
1
нок 1.8). Як відомо, CM  CA  CB 1 ; крім того,
1
2
1
AB  CB  CA . Тоді CM  AB  CA CB  CA CA 
2 1 1
 CB  CB  CB  CA . Приймаючи до уваги, що
1 1
1
CA CA  CB CB  0, маємо CM  AB  CA  CB CB  CA .
1 1 1 1
2
Але CA  CB  CB  CA , бо CA  CA , CB  CB , а кут
1 1 1 1
між векторами CA і CB такий же, як і між векторами CB
1 1
і CA . Тому CM  AB  0 , що означає перпендикулярність
AM і AB .

Рисунок 1.8 Рисунок 1.9

1.22 Нехай K , L, M , N – середини сторін чотирикут-
ника ABCD (див. рисунок 1.9). Легко бачити, що чотири-
кутник KLMN є паралелограмом і O – точка перетину ді-
агоналей цього паралелограма. Очевидно
1 1
OA  ON  NA  ON  DA; аналогічно OB  OK  AB ,
2 2
1 1
OC  OL  BC, OD  OM  CD . Додаючи ці рівності,
2 2
одержуємо: OA  OB  OC  OD  OK  OL  OM  ON 
80