Page 79 - 4371


Це й означає, що пр  a  0 , i , 2 , 1  , 10. Отже, шукана вісь –
 b
це вісь вектора b .
  
1.19 Припустимо, що вектори b , b , b компланарні, а
1 2 3
тому лінійно залежні. Тоді знайдуться дійсні чис-
ла ,  ,  , хоча б одне з яких відмінне від нуля і такі,
1 2 3
   
що  b  b  b  0. Звідси
1 1 2 2 3 3
3    3    3    
 1  1 j  a   2 a a a j  j   3 a a a j  j  0 , або
a a
j
2
3
j 1 j 1 j 1
         
c a a 1  1  c a a 2  2  c a a 3  3  0 , (1.1)
      
,
де c  a   a   a . Оскільки вектори ,a a a лінійно
1 1 2 2 3 3 1 2 3
 
незалежні, то c  . Крім того, з (1.1) внаслідок лінійної
0
     
,
незалежності a a a випливає, що c a 1  0 , c a 2  0 ,
,
3
1
2
         
c a  0. Звідси c 2  c c    c  a  a  a   ac 
3 1 1 2 2 3 3 1 1
     
0
  ac   ac  0 . А це означає, що c  . Прийшли
2 2 3 3
  
до суперечності. Отже, вектори ,b b b лінійно незалеж-
,
1 2 3
ні, а тому й некомпланарні, що й потрібно було довести.
1.20 Оскільки для довільної точки O маємо
OK  ON  NK , OL  ON  NK , OM  ON  NM , то зада-
ну рівність можна перетворити до вигляду:
NK 32  NL 5 NM    10 ON .
Якщо  10, то остання рівність є невірною для будь-якої
точки O, внаслідок того, що вектори NK , NL і NM не-
компланарні. Якщо  10, то цю рівність можна записати
у вигляді
2 3 5
NO  NK  NL  NM .
10   10   10  
А це означає, що при   10 існує точка O така, що
2 OK  3 OL  5 OM   ON .
79