Page 76 - 4371

Введемо на площині прямокутну декартову систему коор-
динат з початком в точці O і базисним вектором осі абс-

цис i  OM . Очевидно пр  OM  пр  OA, пр  OM  пр  OB ,
2 i 1 i i 3 i
тоді OMпр   OM  пр  OA  OB  0 . Нехай
i 1 3 i

OM  OM  OM  a  x,  y . Але x 1пр  OM OM  1 ,
1 2 3 i 1 3

тому a  1, що і треба було довести (зауважимо, що дане
твердження легко узагальнюється на випадок будь-якого
непарного числа векторів).

1.12 Нехай S , S , S , S – грані піраміди, n – одинич-
1 2 3 4 i
ний вектор нормалі до S , напрямлений всередину пірамі-
i
ди,  – внутрішній двогранний кут, утворений гранями
ij
 
S і S . Позначимо через  кут між векторами n і n ;
i j ij i j
 
очевидно, що      , тому n  n  cos    cos  .
ij ij i j ij ij
2 4 2 4
4
       2
Враховуючи, що   n i   0 , маємо:   n i    n i 
 1  i   1i  i 1
 
  2 nn i j  4  2  cos ij  0 . Звідки  cos ij  2 , що
1 i  j 4 1 i  j 4  1 i  j 4
і потрібно було довести.
1.13 Нехай O – центр даного кола. Тоді
BA  BO  OA , BA  BO  OA , , BA  BO  OA . Тому
1 1 2 2 n n
BA  BA   BA  BOn  OA  OA   OA . Але
1 2 n 1 2 n

OA OA  OA  0 (див. задачу 1.3), отже,
1 2 n
BA  BA   BA  n BO і BA  BA   BA  n BO  nR.
1 2 n 1 2 n
1.14 Домножимо задану рівність скалярно на OA:

OA   OA OB  OB OC  OC OA  0 . Або, після роз-
криття дужок, OA OA OB  OA OB OC  OA OC OA  0.

76