Page 75 - 4371

1.10 Нехай ABCD – правильний тетраедр, можна вва-
жати, що його ребро рівне 1, AM і CN – мимобіжні меді-
 
b
ани граней (див. рисунок 1.4). Позначимо DA  a , DB  ,

DC  c , AM  m , CN  m , шуканий кут позначимо че-
1 2
 1  1  
рез  . Очевидно m   a  , b m   a  c . Тоді
1 2
2 2
1   1   1  
 2
m  m  a  a  c  a  b  b c  . Враховуючи, що
1 2
2 4 2
      2  1 3  
a  c  b  c  a b  , a  1, маємо m  m   a b  . Але
1 2
2 4
     1 1 3 1 1
a b  a b cos  , тому m  m     . При-
3 2 1 2 2 4 2 8
3
ймаючи до уваги, що m  m  , одержуємо:
1 2
2
m  m 1 8 1 1
cos  1 2   . Отже,   arccos .
m m 3 4 6 6
1 2
1.11 Побудуємо на даній площині одиничне коло з
центром в точці O, з якої виходять всі три вектори (див.
рисунок 1.5). Коло перетинається з прямою L в точках A
та B . Занумеруємо кінці даних векторів послідовно по дузі
півкола від A до B як M , M , M .
1 2 3

Рисунок 1.4 Рисунок 1.5

75