Page 71 - 4371

РОЗВ’ЯЗКИ, ВКАЗІВКИ, ВІДПОВІДІ

  
b
1.1 Оскільки вектор a  колінеарний вектору c , то
 
існує число  таке, що a  b   c , отже a  b  c   1  c .
З тих же міркувань знайдеться число  таке, що

a  b  c   1  a . Таким чином, вектор a  b  c колінеа-
 
рний як вектору a , так і вектору c . Але, оскільки вектори
 
a і c між собою неколінеарні, то a  b  c  0 ; отже

a  b  c  0.
1.2 Введемо в просторі декартову систему координат і
нехай в цій системі координати точок будуть:
A  , yx , z , B  , yx , z ,  , yxC , z  і xO , y,  z . Тоді
1 1 1 2 2 2 3 3 3
OA  x  x, y  y, z   z , OB  x  x, y  y, z   z ,
1 1 1 2 2 2
OC  x  x, y  y, z   z . Із рівності OA  OB  OC  0
3 3 3
одержуємо: x  x  x  3 x 0 , y  y  y  3 y 0 ,
1 2 3 1 2 3
z  z  z  3 z 0 , що приводить до рівностей
1 2 3
1 1 1
x  x  x  x 3 , y  y  y  y 3 , z  z  z  z 3 .
1
2
2
1
2
1
3 3 3
Точка O з такими координатами задовольняє умову задачі,
єдиність такої точки очевидна.
 
1.3 Припустимо, що OA  OA  . . .  OA  a  0 . По-
1 2 n
вернемо всі вектори навколо точки O в одному напрямі на
2 
кут   . З одного боку, сума вказаних векторів не змі-
n 
ниться і ми одержимо той же вектор a , з другого боку, ве-

ктор a теж повинен повернутись на кут  ; звідси випли-
  
ває, що a 0. Отже OA 1  OA 2  . . .  OA n  0 .
1.4 Введемо прямокутну декартову систему координат в
просторі, помістивши початок координат у вершині A
71