Page 67 - 4371

13.45 Знайти всі функції f : Z  Z , для яких при будь-
якому x  виконується співвідношення
Z
x
f 3  x  2 f  f  x  .
13.46 Нехай функція f : Z  Z задовольняє співвід-
 
ношення
f  f   fn   2  nn 3, n  Z .

Знайти 2014f .
13.47 Нехай функція f : N  N задовольняє співвід-
ношення
f   fn  n 2  2 f  n  1 , n  N .
Довести, що на площині існує така пряма, яка містить не-
скінченну кількість точок з координатами n, f  n .
13.48 Нехай f : N  N . Чи правильно, що із справедли-
вості рівності
f x   y  f  f  x  f  y , x  N , y  N ,
випливає, що xf   y  f x  f  y , x  N , y  N ?

14 Різні задачі
14.1 Чому дорівнює сума всіх чотиризначних чисел, в
десятковому запису яких беруть участь тільки цифри 1, 2,
3, 4, 5, якщо:
а) числа повинні складатись із різних цифр;
б) цифри в числах можуть повторюватись.
14.2 Знайти суму всіх п’ятицифрових чисел, складених
із цифр 2, 3, 4, 5 і 6, якщо:
а) числа складаються із різних цифр;
б) цифри в числах можуть повторюватись.
14.3 Знайти всі натуральні числа, які закінчуються на
2013 і які після закреслення останніх чотирьох цифр змен-
шуються в ціле число раз.
14.4 Довести, що ні при якому натуральному n число
n 4  2n 3  2n 2  2 n 1 не може бути точним квадратом.

67