Page 46 - 4371

9.27 Нехай  xf і  xg – визначені на всій числовій
прямій періодичні функції. Відомо, що
lim  f   gx   0x . Довести, що   gxf   x .
x  
9.28 Чи може графік неперервної функції f : R R пере-
тинати кожну невертикальну пряму нескінченне число раз?
d n x n  1 e 1 x  n e 1 x
9.29 Довести рівність   1 .
dx n x n  1
9.30 Довести, що не існує многочлена  xF , який задо-
вольняє при всіх дійсних x нерівності
F   Fx     x  F   Fx      x . Навести приклад функції  xF з

такою властивістю.
9.31 Чи може періодична функція  xf для всіх x 
R
задовольняти умові     0 fxf   x ?
9.32 Нехай функція  xf двічі неперервно диференці-
йовна на  1,0  і задовольняє умовам: 1)  0  ff    10  ;
1 3
2) f     0x для будь- якого x   ,0  1 ; 3)  f  dxx  .
0 2
Визначити функцію  xf .
9.33 Чи існує функція на ,0  2 , яка задовольняє наступ-
ним умовам:  xf неперервно диференційовна на  ,0  2 ;

2
f  0  f   12  ;   xf  1;  f  dxx  1?
0
9.34 Нехай f : R  R – диференційовна функція. Дове-
сти, що знайдеться точка t  1,0  така, що
 2
 f 1  f   0 1 t  f   t  .
2

Побудувати графіки функцій (9.35-9.43).
n
9.35 y  lim sin 2 n x . 9.36 y  lim x 1 arctg x .
n  n 
46