Page 45 - 4371

9.18 Нехай  xf – двічі диференційовна на  ,0   
функція і нехай для всіх x  0 виконуються нерівності
f  x  A , f   x  B . Довести, що f   x  2 AB
на  ,0   .

9.19 Знайти всі визначені на дійсній осі двічі диференці-
йовні функції  xf такі, що     0xfxf    для кожного x .

9.20 Функція  xf неперервна на a,  b , двічі неперерв-
но диференційовна наa,  b , задовольняє рівнянню
f    ex  x f   x і умовам    faf   0b . Знайти  xf .
9.21 Нехай  xf – неперервна на всій числовій осі фун-

кція. Чи завжди існують неперервні функції  xg і  xh
R
такі, що для всіх x
f   gx   x sin  h  x cos ?
x
x
9.22 Чи існує така неперервна на всій дійсній прямій
функція  xf , що  ff   ex   x для всіх x ?
9.23 Функція  xf визначена для всіх дійсних значень
аргументу і приймає дійсні значення, причому
1 2
x
f x   a   f    fx    ,
2
де a 0 . Довести, що функція  xf періодична. (Навести
приклад такої функції, відмінної від тотожної константи,
при a 1).
9.24 Чи існує функція, визначена на  1,0  і необмежена
в околі будь-якої точки цього відрізка?
9.25 Графік неперервної функції y  f  x вгнутий і
f   x
f   00  . Довести, що зростає при x 0 .
x
9.26 Чи існує неперервна функція f : R R така, що
при раціональному x f  x ірраціональне, а при ірраціо-
нальному x f  x раціональне?

45