Page 44 - 4371

Довести, що знайдеться c  1,0  таке, що   0cf  .
9.11 Нехай функція  xf диференційовна на відрізку
a,  b , причому ab  0 . Довести, що існує c a,  b таке,
що
1 a b
 f   cc  f  c  .
a  b f   a f   b

9.12 Функція  xf неперервна на  1,0  і диференційо-
вна на  1,0 . Довести, що якщо f  0  f   01  , то
f   x  f  x в деякій точці x  1,0 .
9.13 Нехай  xf – функція, яка має неперервні похідні
до n 1-го порядку включно і
 f  b  f   b  .. .  f  n  b 
ln   n    b  a ,

 f   a  f    a  .. .  f   a 
де a . Довести, що знайдеться c a,  b таке, що
b
f n1   c  f  c .
9.14 Функція  xf визначена і диференційовна на відрі-
зку  ,0  a , причому   00 f . Довести, що для будь-якого
b   ,0    на відрізку  ,0  a знайдеться точка x така, що
0
bf   ax   x   xf  .
0 0 0
x
y
9.15 Відомо, що x  e  y  e . Чи випливає звідси, що
sin x  sin y ?
9.16 Чи існує нелінійна функція, визначена на всій дійс-
ній осі і яка має похідні всіх порядків, так, що при будь-
якому k її k -та похідна всюди за абсолютною величиною
не перевищує 21 k ?
9.17 Функція  xf визначена на всій дійсній осі. Відо-
мо, що для всякого x і для всякого h  0
2
f x   h  f x   h  h . Довести, що   constxf  .

44