Page 342 - 4371

Перевіркою переконуємось, що розв’язками задачі є оби-
дві функції
1 x , якщо x  ,0
f   0x та   xf 
 , 0 якщо x  .0

13.41 Підставивши в дану рівність y   x , маємо
2
  
f2 cos  y  3  f sin  y  cos y , y  0 , .
 
 2 
Розв’язавши стосовно невідомих f sin  x та f cos  x сис-
тему функційних рівнянь
2 f sin x  3 f cos x   sin x ,

 2 f cos x  3 f sin x   cos x ,
матимемо
3 2
f sin  x  cos x  sin x . (13.19)
5 5
2
Зробимо заміну sin x  t . Тоді cos x  1 sin x  1 t 2 ,
   3 2 2
оскільки x  0 ,  . Матимемо  tf  1 t  t для

 2  5 5
всіх t  1,0 . Пряма перевірка показує, що так визначена
функція f справді є розв’язком даного функційного рів-
няння.
13.42 Покладемо в даному співвідношенні
y  , 0 x  z  d f   0 . Тоді f    az  dz  f   c0 
 az  c  d f   0 . Оскільки x  , то й z може набувати
R
довільного дійсного значення. Тому розв’язок нашого фу-
нкційного рівняння шукатимемо серед лінійних функцій
вигляду   axxf   c . Підставивши цей вираз в дане фун-
1
кційне рівняння, матимемо:
a x  d ay  c  c  ax  by  c ;
1 1
 da 2  b  y ad   1 c  c  0 , y  R .
1

342