Page 343 - 4371

c
Тоді c  при ad   1 і b  a 2 d . Отже, отримаємо
1
ad  1
 c 2
ax  , якщо a d  іb ad   ,1
f   x  ad 1
 ax , якщо b   , ada   ,1 c  .0

В інших випадках розв’язків немає.
13.43 Покажемо, що різним значенням аргументу відпо-
відають різні значення функції, яка задовольняє даному
співвідношенню. Така функція називається ін’єктивною.
Справді, припустивши, що  xf  f  x , матимемо
1 2
f  f  x  f  f  x  1 2x  1 2x  x  x .
1 2 1 2 1 2
Виходячи з теореми про проміжне значення для непере-
рвної функції, можна показати, що кожна неперервна
ін’єктивна функція є монотонною. Оскільки композиція
двох монотонно зростаючих чи монотонно спадних функ-
цій є монотонно зростаючою, а функція 1 2 x монотонно
спадна, то шуканої функції не існує.
13.44 Нехай x  – корінь рівняння   0f x  . Тоді йо-
a
го коренями також є числа a 2 ,a 4 ,a 8 ,  . А тому a  1, бо
многочлен має скінченну кількість коренів. З даного спів-
2
відношення видно, що 1 a  також є коренем шуканого
многочлена, отже, 1 a  1. Нехай a  cos   i sin  . Тоді

1 a  1 cos  i sin  2  2 cos  1,
1
Звідки cos   . Це означає, що a є кубічним коренем із
2
одиниці, тобто многочлен  xf повинен ділитися на
x 2  x  1. Якщо ж степінь  xf нульовий, то   0xf , або
f   1x . Прямою перевіркою встановлюємо, що ці функції,
n
2
а також всі многочлени вигляду   xxf   x   1 за фіксо-
ваного n N , є розв’язками даного функційного рівняння.

343