Page 344 - 4371

13.45 Очевидно, що  xf  x задовольняє умову задачі.
Нехай  xg  f   xx  . Дане рівняння можемо переписати у
вигляді  f2  f  x  f  x  f   xx  , або 2 g  f  x  g  x .
Тоді
g    gx 2  f   x 2 2 g  f  f   x 2 3 g  f  f  f   x .
g
Оскільки числа   ffg   f   x – цілі, то   x повинна
n
Z
ділитися на 2 для всіх x  та n N . Це означає, що
g   0x . Тому  xf  x – єдиний розв’язок даного функ-
ційного рівняння.
13.46 Нехай n 0. Тоді f  f  0  f   30  , звідки
f   30  . Розглянемо випадки:
1)   00 f , тоді  ff  0  f   30  ;
2)   10 f , тоді  1 f 2 , і, припускаючи, що kf 1  k ,
отримаємо  ff  k 1  f  k 1  2  k 1, тобто    kkf  1;
3)   20 f , тоді f  f  0  f  0  f   22   3 , звідки

f   12  ; Підставивши n 2 в дане співвідношення, маємо
f  f  2 f  2 f   11   7, звідки   61 f ; тоді  ff  1
 f  1  f   66   5, тобто   f 6 1  Z ;

4)   30 f , тоді  ff  0  f  0  f   33  , звідки   03 f і
f  f  3  f   63   8.
Отже, можливим є лише другий випадок, тобто
f    nn  1 для всіх  Zn . Тоді 2014f  2015 .

13.47 Нехай  xd  f x 1  f  x . З даної нерівності
випливає, що функція  xd незростаюча і невід’ємна, бо
якщо   kd 1 для деякого k  N , то f повинна бути
k
строго спадною для x  , і
f  k
f   fk    k 1 f  k  d   ik  
 i 0
 f   dk     kfk   1  f    fk   1 k  1  0 ,

344