Page 294 - 4371

2  n 1    n  1
а) arctg  arctg  arctg  n  1 arctg  n  1 ,
n 2 1  n  1 n   1
тоді
S  arctg 2  arctg 0 
n
 arctg 3  arctg 1 
 arctg 4  arctg 2 
 arctg 5  arctg 3 
. . . . . . . . . . .
 arctg n  arctg   2n 
arctg  n  1  arctg n  1  arctg n arctg n   1 arctg 1.
   3
Отже, S lim arctg n  arctg  n  1  arctg  1     .
n   2 2 4 4
1 2 n 1  2  n  1
б) arctg  arctg  arctg 2 n  1 arctg 2 n  1 .
2n 2 1 2 n 1 2 n  1
Як і в п. а), одержуємо S  arctg 2n   1  arctg 1, звідки,
n
  
перейшовши до границі при n , маємо S    .
2 4 4
11.19 Скористаємось тотожністю
arcsin  1 yx 2  y 1 x 2  arcsin  x arcsin , y x , y  1,0  .

2
n 2  2n  n 2 1  1n  1  n 2 1
а) arcsin  arcsin 
n  1n  n  1n 
  1n  1 n 2 1 
2
 arcsin    
 n  1n  n  1n  
 
 1  1n  1 1 n 2 1 
2
 arcsin    
 n  1n  2 n 1 n 2 
 
 1 1 1 1  1 1
 arcsin  1  1   arcsin  arcsin .
 n  n  1 2 n  1 n 2  n n  1
 

294